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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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14. Hallar, si existen, los puntos de intersección de los gráficos de $f$ y $g$.
e) $f$ es la función lineal tal que $f(2)=5$ y $f(4)=9, g(x)=x^{2}+6 x+5$

Respuesta

Recordá que los puntos de intersección entre dos funciones son aquellos puntos donde ambas funciones valen lo mismo. O también podés pensarlo gráficamente: Los puntos de intersección son los puntos donde las gráficas de ambas funciones se cruzan. 
 
En este caso, aunque me dan la fórmula de la función $g$, no me dan la fórmula de la función $f$, sino que tenemos que calcularla primero (esto es muuuy del estilo ejercicio de parcial, te meten dos ejercicios en uno).




• Primero buscamos $f$, sabiendo que es un función lineal, por lo tanto su estructura es: $y = mx + b$ 


Como sabemos dos puntos por donde pasa la función podemos hallar la pendiente y luego reemplazar uno de esos puntos para hallar la ordenada al origen, y así obtener la función:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 9}{2 - 4} = \frac{-4}{-2} = 2$


Reemplazamos la pendiente en la fórmula y luego cualquiera de los puntos de $f$:

$y = 2x + b$ $5 = 2 \cdot 2 + b$
$5 - 4 = b$
$1 = b$



Por lo tanto, $f(x) = 2x + 1$





• Ahora buscamos los puntos de intersección. Para eso vamos a igualar las funciones y despejar $x$: 


$f(x) = g(x)$
$2x + 1 = x^{2}+6 x+5$


$0 = x^2 + 6x - 2x +5 - 1$


$0 = x^2 + 4x + 4$


Resolvemos utilizando la fórmula resolvente de cuadráticas:

$a = 1$, $b = 4$,  $c = 4$

Obteniendo $x_1 = -2$ y $x_2 = -2$, es decir, una única raíz repetida (se la llama "raíz doble") en $x=-2$.


Tenemos entonces un puntos de intersección de la forma: $P_1 = (x_1, y_1) = (-2, y_1)$

Para obtener $y_1$ y $y_2$, reemplazamos $x_1$ y $x_2$ en $f(x)$:
$y_1 = f(x_1) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$

El punto de intersección es: $P = (-2, -3)$
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Avatar Irina 8 de septiembre 17:25
Hola profe! No entiendo la razón por la cual, dependiendo a que lado despeje la x, la ecuación me da distinto2024-09-08%2017:25:34_8002609.png
Avatar Julieta Profesor 9 de septiembre 15:43
@Irina Hola Iri, te da exactamente lo mismo, solo que escrito de otra forma. Es como cuando das vuelta la media jajajaja, es la misma media, pero la ves del otro lado. Acá pasa lo mismo. 

Para que lo veas fácil, imaginate esta ecuación: 

x + 2 = 3

Despejo a la izquierda:
x = 3 - 2 
x = 1

Despejo a la derecha: 
2 = 3 - x
2 - 3 = - x
- 1 = - x
(-1)/(-1) = x
1 = x

Otra forma para verlo es, asignale un valor a x, por ej, x=1, y reemplazala en las dos expresiones cuadráticas que obtuviste. Al hacer las cuentas vas a llegar al mismo resultado, porque es la misma expresión pero justamente expresada de dos formas equivalentes.
Avatar Abigail 3 de septiembre 19:25
Profe! O sea que siempre que haya dos raices iguales solo utilizo uno como el unico punto de interseccion?
Avatar Julieta Profesor 5 de septiembre 18:32
@Abigail Sí! Quiere decir que hay un solo punto de intersección!
Avatar Gladys 15 de mayo 20:21
Hola profe, no entiendo de donde sacó los puntos 1 y 2 de x, o sea x1= -5 y x2= -1. si en la formula resolvente dio x1= -2 y x2= -2
Avatar Julieta Profesor 20 de mayo 07:18
@Gladys ¡Gracias Gla! Me quedó copiado eso que no iba!
Avatar tao 12 de mayo 01:45
hola profe! cuando igualamos las funciones, yo mande todo lo de la derecha del = a la izquierda, y los 4 me habian dado negativos, cuando chequee aca vi que te quedaron positivos asi que lo hice como vos y pase todo a la izquierda, y ahora si me quedaron positivos. mi pregunta es, en un examen, como me doy cuenta a que lado del = tengo que mandar todo? yo pense que era indiferente pero ahora que veo que da diferentes resultados dudo y me da miedito, gracias!
Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 13:28
@tao Hola Tao, debería darte igual porque justamente es una igualdad. Fijate qué estás pasando mal a la hora de llevar todo a la derecha del =. En algún signo le estás pifiando
Avatar Gladys 15 de mayo 20:06
@tao tengo la misma duda profe
Avatar Angelica 30 de abril 21:22
Hola Juli, como siempre hago, primero resuelvo el ejercicio o trato xd jajaj y después vengo a verificar, en este caso yo no encontré ninguna X porque al hacer la resolvente el discriminante se me hace 0

Razonando el ejercicio, si el discriminante es 0, igualmente continua con raiz cuadrada de 0 que es 0 :D y allí tendría los dos casos? que me dan el mismo resultado?



Avatar Julieta Profesor 2 de mayo 06:47
@Angelica ¡Exactamente Angélica! Cuando el discriminante de una ecuación cuadrática es igual a cero, significa que la ecuación tiene una raíz doble. En otras palabras, la parábola representada por la ecuación cuadrática toca el eje x en un solo punto. 
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