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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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14. Hallar, si existen, los puntos de intersección de los gráficos de ff y gg.
e) ff es la función lineal tal que f(2)=5f(2)=5 y f(4)=9,g(x)=x2+6x+5f(4)=9, g(x)=x^{2}+6 x+5

Respuesta

• Primero buscamos ff, sabiendo que es un función lineal, por lo tanto su estructura será: y=mx+by = mx + b 

Como sabemos dos puntos por donde pasa la función podemos hallar la pendiente y luego reemplazar uno de esos puntos para hallar la ordenada al origen, y así obtener la función: m=y2−y1x2−x1=5−92−4=−4−2=2m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 9}{2 - 4} = \frac{-4}{-2} = 2 y=2x+by = 2x + b 5=2⋅2+b5 = 2 \cdot 2 + b 5−4=b5 - 4 = b 1=b1 = b

Por lo tanto, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1


• Ahora buscamos los puntos de intersección, igualando las funciones y despejando x f(x)=g(x)f(x) = g(x): 2x+1=x2+6x+52x + 1 = x^{2}+6 x+5

0=x2+6x−2x+5−10 = x^2 + 6x - 2x +5 - 1

0=x2+4x+40 = x^2 + 4x + 4

Resolvemos utilizando la fórmula resolvente de cuadráticas:

a=1a = 1, b=4b = 4,  c=4c = 4 Obteniendo x1=−2x_1 = -2 y x2=−2x_2 = -2, es decir, una única raíz (se la llama raíz doble) en x=−2x=-2.
• Tenemos entonces un puntos de intersección, de la forma: P1=(x1,y1)=(−2,y1)P_1 = (x_1, y_1) = (-2, y_1)

• Para obtener y1y_1 y y2y_2, reemplazamos x1x_1 y x2x_2 en f(x)f(x): y1=f(x1)=2(−2)+1=−4+1=−3y_1 = f(x_1) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 Entonces, el punto de intersección es: P=(−2,−3)P = (-2, -3)
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Irina
8 de septiembre 17:25
Hola profe! No entiendo la razón por la cual, dependiendo a que lado despeje la x, la ecuación me da distinto2024-09-08%2017:25:34_8002609.png
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Julieta
PROFE
9 de septiembre 15:43
@Irina Hola Iri, te da exactamente lo mismo, solo que escrito de otra forma. Es como cuando das vuelta la media jajajaja, es la misma media, pero la ves del otro lado. Acá pasa lo mismo. 

Para que lo veas fácil, imaginate esta ecuación: 

x + 2 = 3

Despejo a la izquierda:
x = 3 - 2 
x = 1

Despejo a la derecha: 
2 = 3 - x
2 - 3 = - x
- 1 = - x
(-1)/(-1) = x
1 = x

Otra forma para verlo es, asignale un valor a x, por ej, x=1, y reemplazala en las dos expresiones cuadráticas que obtuviste. Al hacer las cuentas vas a llegar al mismo resultado, porque es la misma expresión pero justamente expresada de dos formas equivalentes.
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Abigail
3 de septiembre 19:25
Profe! O sea que siempre que haya dos raices iguales solo utilizo uno como el unico punto de interseccion?
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Julieta
PROFE
5 de septiembre 18:32
@Abigail Sí! Quiere decir que hay un solo punto de intersección!
0 Responder
Gladys
15 de mayo 20:21
Hola profe, no entiendo de donde sacó los puntos 1 y 2 de x, o sea x1= -5 y x2= -1. si en la formula resolvente dio x1= -2 y x2= -2
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Julieta
PROFE
20 de mayo 7:18
@Gladys ¡Gracias Gla! Me quedó copiado eso que no iba!
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tao
12 de mayo 1:45
hola profe! cuando igualamos las funciones, yo mande todo lo de la derecha del = a la izquierda, y los 4 me habian dado negativos, cuando chequee aca vi que te quedaron positivos asi que lo hice como vos y pase todo a la izquierda, y ahora si me quedaron positivos. mi pregunta es, en un examen, como me doy cuenta a que lado del = tengo que mandar todo? yo pense que era indiferente pero ahora que veo que da diferentes resultados dudo y me da miedito, gracias!
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Julieta
PROFE
15 de mayo 13:28
@tao Hola Tao, debería darte igual porque justamente es una igualdad. Fijate qué estás pasando mal a la hora de llevar todo a la derecha del =. En algún signo le estás pifiando
0 Responder
Gladys
15 de mayo 20:06
@tao tengo la misma duda profe
0 Responder
Angelica
30 de abril 21:22
Hola Juli, como siempre hago, primero resuelvo el ejercicio o trato xd jajaj y después vengo a verificar, en este caso yo no encontré ninguna X porque al hacer la resolvente el discriminante se me hace 0

Razonando el ejercicio, si el discriminante es 0, igualmente continua con raiz cuadrada de 0 que es 0 :D y allí tendría los dos casos? que me dan el mismo resultado?
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Julieta
PROFE
2 de mayo 6:47
@Angelica ¡Exactamente Angélica! Cuando el discriminante de una ecuación cuadrática es igual a cero, significa que la ecuación tiene una raíz doble. En otras palabras, la parábola representada por la ecuación cuadrática toca el eje x en un solo punto. 
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